Фамилия Переыковский — редкий случай, когда написание сразу выдаёт возможную ошибку или диалектное произношение. Скорее всего, перед нами вариант фамилии Перейковский, где буква «ы» возникла на месте «й» под влиянием акающего говора или небрежной записи в документах. В русской ономастике фамилии на -ский обычно указывают на географическое происхождение: предок был либо помещиком, владевшим селом, либо выходцем из населённого пункта с названием Перейково, Перейковка или похожим. Такие топонимы встречаются в центральной России и на Украине, образованы от прозвища или имени Перейко — уменьшительной формы от Перей, которое могло значить «перешедший», «пришлый» (от глагола «перейти»).

Если же написание Переыковский не искажение, а исходная форма, то корень «переык» вызывает вопросы. В русских говорах нет слова с таким значением, поэтому версия с топонимом остаётся основной. Суффикс -ский в XVI–XVII веках активно присваивался дворянским фамилиям, но позже распространился и среди духовенства, а затем и крестьян, получивших фамилии при переписях. Сословная принадлежность Переыковских неясна: фамилия не фигурирует в старых родословных книгах, что скорее говорит о её позднем происхождении — возможно, из мещан или однодворцев.

Сравнение с однокоренными фамилиями помогает: Перейков, Перейкин, Перейко — все они восходят к тому же прозвищу Перейка. Форма на -ский добавляет оттенок «принадлежности к месту», а не к роду. Если ваш предок носил фамилию Переыковский, стоит проверить архивные записи XIX века в Курской, Орловской или Рязанской губерниях — именно там чаще встречаются топонимы с корнем «перей-». В любом случае, фамилия уникальна: носителей с таким написанием, судя по открытым данным, единицы, и это делает её особенно ценной для семейной истории.