Фамилия Перхермед — один из тех редких случаев, когда носитель фамилии, скорее всего, не русский, а потомок выходцев из Западной Европы. В русском языке у этого слова нет прозрачной внутренней формы: оно не складывается из привычных корней (вроде «перхоть» или «мед»). Поэтому искать объяснение нужно в другом языке.

Скорее всего, в основе лежит немецкое или голландское имя или прозвище. Первая часть «Пер-» — это часто сокращение от имени Петер (Peter) или Пер (Per — скандинавский вариант Петра). Вторая часть «-хермед» может восходить к немецкому «Hermed» — возможно, искажённое «Hermet» или «Hermedt», либо переосмысленное «Her-med» (от «her» — сюда и «Med» — сокращение от имени Медардус или места). Самая правдоподобная версия: фамилия образована от немецкого личного имени Peter Hermed (или Per Hermed) — то есть это отчество второго порядка, «Перхермед» означало «сын Пера по прозвищу Хермед» или «сын Петера Хермеда».

Обратите внимание на суффикс. В русской записи фамилия оканчивается на согласный, без типичных русских суффиксов -ов, -ин, -ский. Это указывает, что фамилию не русифицировали: её записали так, как она звучала, и закрепили в документах в «голом» виде. Такое часто случалось с иностранцами, переселившимися в Россию в XVIII–XIX веках — немцами, голландцами, шведами. Их фамилии не переделывали под русскую модель, а просто фиксировали на слух.

Географически фамилия могла закрепиться в регионах, где были колонии немецких поселенцев: Поволжье, юг Украины, Прибалтика, Петербургская губерния. Встречаемость фамилии Перхермед в современных базах данных крайне низкая — это штучная, почти исчезнувшая фамилия. Если ваши предки носили её, они почти наверняка были потомками европейских колонистов, вероятно, лютеранами, и занимались ремеслом, сельским хозяйством или были мелкими чиновниками.

Второстепенная, но возможная версия — искусственное образование в среде духовенства. В семинариях иногда давали фамилии по латинским или греческим словам. «Пер» (per — через) и «хермед» (hermed — от греч. «гермес»? вестник?) могло быть придумано преподавателем как «проходящий через вестника» — но это натяжка, так как семинарские фамилии обычно прозрачнее и красивее. Первая версия — с немецким корнем — надёжнее.