Фамилия Подвязкин ведёт начало от прозвища Подвязка, а оно, в свою очередь, образовано от глагола «подвязывать» — то есть привязывать что-либо, подбирая, приподымая или опоясывая. Проще говоря, прозвище могло закрепиться за человеком по роду его занятий: подвязкой в старину занимались многие ремесленники — от бондарей, стягивающих обручи на бочках, до садовников, подвязывающих лозу. Однако есть и другая, не менее правдоподобная версия: в некоторых говорах подвязками называли тонкие тесёмки и верёвочки, и такое прозвище в переносном смысле могли дать человеку худощавому, тонкому или слабому — как бы «вытянутому в нитку».

Словообразовательная модель здесь простая и типичная для русских фамилий: к основе Подвязка добавили суффикс принадлежности -ин, который указывает на «сына Подвязки» или «человека из рода Подвязки». Такой суффикс встречается реже, чем -ов/-ев, и чаще закреплялся за именами и прозвищами, оканчивающимися на -а/-я. Это делает фамилию Подвязкин характерной для северных и центральных русских земель, где форма с -ин была особенно распространена.

Интересно, что прозвище Подвязка могло быть не только личным, но и бытовым: в крестьянском обиходе подвязкой называли и пояс, и лямку, и даже деталь лаптя или обуви. Поэтому нельзя исключать, что прозвище закрепилось за человеком по какой-то внешней примете — например, за тем, кто постоянно подпоясывался особенным образом или носил заметную тесёмку на одежде.

В любом случае, фамилия Подвязкин относится к разряду «прозвищных»: она не произошла от крестильного имени, а отражает живое народное слово, бытовавшее в повседневной речи. Со временем прозвище Подвязка закрепилось за конкретным человеком как наиболее употребительное именование, а его потомки уже получили отчество-фамилию Подвязкины. Так глагол «подвязывать» и бытовая деталь одежды превратились в родовое имя, которое и сегодня звучит как напоминание о ремесле, внешности или привычке далёкого предка.

Если сравнивать с однокоренными фамилиями, то Подвязкин стоит в одном ряду с Подвязниковым, Подвязкиным и более редкими формами вроде Подвязьева. Вариант с -ин здесь выглядит наиболее органичным, поскольку основа оканчивается на -а, и именно такая форма лучше всего сохранила первоначальное звучание прозвища без лишних наращений.