Основой фамилии Поцхверия послужило мирское имя Поцхвери. Фамилия Поцхверия восходит к грузинскому слову potschveri – «рысь». Вероятно, давая такое имя своему ребенку, родители надеялись, что он станет таким же быстрым и ловким, как это животное. Имя Поцхвери носил один из грузинских святых. Фамильное окончание –я (-ия) часто встречается в мегрельских и абхазских фамилиях. Таким образом, потомок человека, обладающего именем Поцхвери, со временем получил фамилию Поцхверия.