Фамилия Повилягин — яркий пример того, как в основе русской фамилии может лежать не имя, не профессия, а глагол, причём с яркой экспрессивной окраской. Разбираем её по косточкам.

Корень здесь — «виляг». Это не что иное, как вариант глагола «вилять»: вилять хвостом, вилять в разговоре, то есть уклоняться, хитрить, не идти прямо. В русских говорах слово «виляга» или «виляка» — прозвище для человека увёртливого, неискреннего, лукавого, который редко говорит правду в глаза. Форма с приставкой «по-» — «повиляга» — могла означать «тот, кто изрядно навилял, умеет выкручиваться», либо же просто усиливать прозвище. Суффикс «-ин» указывает на принадлежность: «чей?» — Повилягин, то есть сын или потомок Повиляги.

Словообразовательная модель типична для русских фамилий от прозвищ, образованных от глаголов повелительного или описательного наклонения (сравните: Неупокоев, Оболенский — другая модель, а тут чисто прозвищная основа). Интересно, что фамилия редкая, не встречается в массовых списках дворянских или купеческих родов. Скорее всего, она сформировалась в крестьянской или мещанской среде, где прозвища давали метко и без прикрас. В отличие от фамилий на «-ский», которые часто указывали на географию, Повилягин — это характеристика человека, его поведенческой черты.

Географически фамилия тяготеет к центральным и южнорусским областям, где говор сохранил слово «виляга» в активном обиходе. Если искать однокоренные фамилии, то это Вилягин, Повилкин, а также более прозрачные Виляев, Вилялов. Все они несут в себе ту же семантику: хитрец, увёртливый человек. Таким образом, далёкий предок современных Повилягиных, скорее всего, получил прозвище за свой характер — не злой, но хитроватый, умеющий обходить острые углы. В этом смысле фамилия — не приговор, а меткая бытовая характеристика, которую закрепили за родом.