Фамилия Повиляй — одна из тех редких русских фамилий, которые образованы от глагола в повелительном наклонении. В основе лежит форма «повиляй» — от глагола «вилять» с приставкой «по-» (повилять, то есть покачать, покрутить, изменить направление). Такие «повелительные» фамилии (вроде Скажи, Убей, Бей) в русской ономастике встречаются, но нечасто, и обычно они указывали на прозвище человека, закреплённое за ним по какой-то характерной черте или поступку.

Прозвище Повиляй могли дать человеку с извилистой походкой — хромому, прихрамывающему или тому, кто ходил, покачиваясь. Но не исключён и переносный смысл: так могли назвать уклончивого, нерешительного человека, который «вилял» в разговоре, избегал прямых ответов. В крестьянской среде, где меткие прозвища часто становились фамилиями, такой вариант вполне правдоподобен.

Словообразовательная модель проста: фамилия не имеет типичного суффикса (-ов, -ин, -ский), она осталась в «чистой» форме — в виде застывшего глагольного императива. Это характерно для украинских и южнорусских фамилий (например, Держи, Ходи), хотя встречается и в северных регионах. Географически Повиляй может быть связана с областями, где было сильно влияние украинской или белорусской традиции прозвищ, но точных данных о распространённости нет — фамилия редкая.

Сословная принадлежность носителей, скорее всего, крестьянская или казачья. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано. В дореволюционных источниках фамилия могла писаться через «е» (Повиляй) или с двойным «и» (Повиляй), но современная орфография устоялась.

Спорных версий происхождения немного: некоторые пытаются связать её с украинским «виляти» (уворачиваться) или даже с польским «wilać» (колебаться), но суть от этого не меняется — корень один. Наиболее правдоподобно, что предок носителя фамилии получил её за манеру ходить или вести себя уклончиво, и прозвище приросло к роду навсегда.