Фамилия Праиикав — редкая и нестандартная для русского уха. Если не брать в расчёт опечатку или искажение при записи, её происхождение, скорее всего, связано с осетинским языком. В осетинском есть фамилии, образованные от слова «праии» (или «прай») — так называли представителей соседних народов, в частности, русских или славян. Суффикс «-кав» — типичный для осетинских фамилий (сравните: Дзукаев, Битаров, Кокаев). Таким образом, прозвище Праиикав могло означать «потомок того, кого звали Праии» или «выходец из среды праии». Носитель такой фамилии мог быть человеком, чей предок имел русские корни, жил среди осетин и получил соответствующее прозвище.

Есть и более прозаичная версия: фамилия могла возникнуть из-за ошибки писаря при переписи населения. В русских говорах встречается слово «праикать» (от «прать» — давить, теснить, или от «пра» — предок), но оно диалектное и редкое. Если основа — глагол, то фамилия могла указывать на занятие: например, человека, который «праикал» — мял, толок что-то, работал с кожей или глиной. Однако суффикс «-ав» (а не «-ов») в русской традиции нетипичен: обычно это «Праиков». Форма на «-ав» выдаёт нерусское происхождение — либо осетинское, либо, реже, болгарское, где суффикс «-ав» означает принадлежность.

Географически фамилия могла закрепиться на Северном Кавказе, в Осетии или среди казаков, контактировавших с горцами. В центральных областях России она почти не встречается. Социально предки носителя могли быть как крестьянами, так и военными — в среде осетин фамилии часто давали по национальности или роду занятий, а не по сословию.

Таким образом, наиболее вероятная версия — осетинская, с корнем «праии» (русский). Если же фамилия записана с ошибкой и на самом деле должна быть «Праиков», то это просто русская фамилия от прозвища «Праико» — человека, который «прёт», напористого или упрямого. Но написание «Праиикав» склоняет именно к осетинскому следу.