Фамилия Приюылов — редкий случай, когда написание подсказывает разгадку быстрее, чем корень. Сразу бросается в глаза буква «ы» после «ю»: в русской ономастике такое сочетание почти всегда признак ошибки или искажения. Скорее всего, первоначальная форма была Приютилов, а буква «ы» влезла из-за неграмотной записи или диалектного произношения, где безударный «и» звучал как нечто среднее между «и» и «ы». Второй вариант — опечатка в документе, которая закрепилась.

Если отбросить «ы», основа становится прозрачной: «приют» или «приютить». В русских фамилиях суффикс -илов (-ылов) встречается реже, чем -ов, но он характерен для отчеств от прозвищ или личных имён, заканчивающихся на -ило. Здесь могло быть прозвище Приютило — так называли человека, который давал приют, укрывал беглых или бездомных. В крестьянской среде XIX века такое прозвище могло закрепиться за тем, кто держал постоялый двор или просто славился гостеприимством. Не исключено, что прозвище имело ироничный оттенок: «приютило» — тот, кто сам вечно ищет, где приткнуться.

Менее вероятная, но допустимая версия — связь с географическим названием: деревня Приютово или Приютино (такие есть в нескольких областях). Тогда Приюылов — это вариант фамилии, образованной от названия места, но с тем же искажением. В любом случае, географическая привязка фамилии слабая: в современных базах данных носители Приюыловых встречаются единично, в основном на Урале и в Поволжье, что косвенно подтверждает версию об ошибке записи — в этих регионах при переписях часто коверкали фамилии на слух.

Фамилия однозначно русская, по модели — отчество от прозвища. Сословно: скорее всего, крестьянская или мещанская, так как дворянские фамилии редко имели столь бытовую основу и почти не подвергались такому искажению в документах.