Фамилия Пуяндайкин — редкий случай, где на слух почти не угадывается ни географическая, ни профессиональная подсказка. Начинать разбор стоит с необычного суффиксального строения: перед нами не типичное -ов/-ев или -ин, а сложная цепочка -айк- + -ин. В русской ономастике суффикс -айк(а) обычно образует прозвища или уменьшительные формы личных имён (Кузьма — Кузька, но Кузайка; Пётр — Петька, но Петрайка). Соответственно, основа Пуяндайка — это прозвище или ласковое именование человека, а Пуяндайкин означает «чей-то сын» или «потомок Пуяндайки».

Самая правдоподробная версия происхождения основы — от тюркского мужского имени Пуян (варианты Буян, Баян). В тюркских языках «буян» означает «богатый», «обильный», а в некоторых диалектах — «сильный, могучий». Имя Буян встречалось у татар, башкир, чувашей, а также было известно в древнерусской среде как прозвище (вспомните былинного Буяна, хотя там другой корень). К основе Пуян добавился уменьшительно-ласкательный суффикс -дай (характерный для тюркских языков, ср. Ахметдай, Ильдай), и получилось Пуяндай — «маленький Пуян» или «Пуян-сын». Затем русский суффикс -к(а) превратил это в прозвище Пуяндайка, а уже от него по модели притяжательных прилагательных возникла фамилия Пуяндайкин.

Региональная привязка фамилии — Поволжье и Предуралье, зона активных русско-тюркских контактов. Фамилии с компонентом -дай- и последующим русским -кин (ср. Алдайкин, Булдайкин, Талдайкин) встречаются в документах XVII–XVIII веков среди служилых людей и крестьян бывшего Казанского ханства. Предки Пуяндайкиных могли быть либо крещёными татарами, либо русскими, взявшими в обиход тюркское прозвище — подобные заимствования в ту эпоху были обычны.

Есть и другая, менее вероятная версия: связь с диалектным глаголом «пуяндать» — в некоторых северных говорах так говорят о медлительном, нерасторопном человеке. Но эта гипотеза слабая: во-первых, глагол редок и не имеет устойчивого распространения, во-вторых, суффиксальная модель -айк- от глагольной основы нехарактерна для русских прозвищ. Тюркское происхождение объясняет и форму, и географию бытования фамилии куда убедительнее.