Фамилия Пуяте — редкий случай, когда географическая привязка почти наверняка важнее этимологии. Скорее всего, перед нами фамилия латышского происхождения, и её носители — потомки выходцев из Латвии или пограничных с ней районов. Форма на -е, а не на более привычные русские -ов или -ин, и отсутствие типичного славянского суффикса — главные подсказки.

Если исходить из латышского языка, основу можно связать с глаголом pūt («дуть», «веять») или существительным pūte («ветер», «дуновение»). Фамилия Пуяте тогда могла быть прозвищем человека с лёгким, ветреным характером, либо, что ещё вероятнее, относилась к ремеслу: так могли назвать мельника, работавшего на ветряной мельнице, или мастера, раздувавшего кузнечные меха. В латышской ономастике такие прозвища, перешедшие в фамилии, встречаются часто.

Менее вероятна, но не исключена версия, связывающая фамилию с личным именем. В старых прибалтийских говорах могло бытовать сокращение от полного имени вроде Пуят (гипотетическая форма от Пуятис или производное от Pēteris). Однако без письменных источников это лишь догадка.

С точки зрения модели образования, Пуяте — это форма именительного падежа множественного числа в латышском языке (как фамилии Берзиньш — Берзинь, Озолиньш — Озолинь). Окончание -е указывает на то, что фамилия закрепилась именно в такой грамматической форме, характерной для восточно-латышских говоров (Латгалия) или для русифицированной записи латышских фамилий в метрических книгах XIX века.

В русской среде фамилия практически не встречается, что подтверждает её узколокальный характер. Если ваши предки носили фамилию Пуяте, стоит искать корни в западных губерниях Российской империи — Витебской, Курляндской или Лифляндской, где латышское население было многочисленным.