Фамилия Пуыкмкеп — один из тех редких случаев, когда написание почти полностью скрывает происхождение. В ней нет привычных русских суффиксов (-ов, -ин, -ский), а сочетание согласных «пкмкп» нехарактерно для славянской фонетики. Скорее всего, перед нами искажённая запись фамилии, которая в оригинале звучала иначе.

Наиболее вероятная версия: Пуыкмкеп — это результат многократных ошибок при переписи или транслитерации. Исходной формой могла быть финно-угорская или прибалтийская фамилия, например, Пукки, Пукит, Пукман или Кепп. В языках коми, карельском или эстонском слово «пук» (или «пуу») означает «дерево», а «кепп» — «куча» или «горка». Таким образом, прозвище могло относиться к человеку, жившему у лесистого холма, или к леснику. При записи в русских документах XIX–XX веков фамилию могли механически переставить или записать на слух, получив странный конгломерат букв.

Вторая гипотеза — искусственное происхождение. В советское время при паспортизации или в ходе кампании по борьбе с неблагозвучными фамилиями иногда возникали абсурдные написания из-за неграмотности чиновников или намеренного искажения. Фамилия Пуыкмкеп могла получиться из более простой (например, Пукин или Пукке) путём добавления лишних букв.

Географически носители такой фамилии почти не встречаются в открытых базах данных, что подтверждает её редкость и, вероятно, локальный характер. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать корни на северо-западе России (Карелия, Ленинградская область) или в Прибалтике, где финно-угорские языки смешивались с русским. Восстановить исходную форму помогут старые метрические книги или ревизские сказки — там написание могло быть ближе к звучанию.