Фамилия Пязуке почти наверняка имеет эстонские корни. Основу фамилии составляет эстонское слово pääsuke — «ласточка» (в некоторых говорах — «касатка»). Это не фамилия в привычном для русских понимании, а застывшее прозвище или даже языческое имя, которое давали человеку по чертам характера или внешности: ласточку считали быстрой, ловкой, проворной птицей.

Подобные «природные» имена встречались у эстонцев, финнов, латышей и литовцев по всей Прибалтике. У балтийских народов до принятия фамилий в XIX веке человека могли называть по животному, птице или растению, и позже это прозвище переходило в официальную фамилию. Эстонский язык относится к финно-угорской группе, поэтому фамилия не имеет славянских суффиксов -ов, -ин или -ский, которые ожидаешь увидеть в русскоязычной среде. Форма Пязуке — это транслитерация эстонского pääsuke, где ä передали через «я», а конечный гласный сохранили.

Документальные подтверждения связывают фамилию именно с Эстонией. Так, в Сведениях ДКНБ РК по Северо-Казахстанской области упоминается эстонец Пязуке Иван Кондратьевич, родившийся в 1889 году в Лифляндской губернии (деревня А Левенской области). В Ленинградском мартирологе отмечен еще один носитель — Пязуке Иван Яковлевич, родившийся в 1873 году в Эстонии. Оба случая — это крестьянское население, которое в конце XIX — начале XX века переселялось вглубь Российской империи, в том числе в Северный Казахстан и Ленинградскую область.

Словообразовательная модель здесь простая: фамилия равна основе слова без каких-либо изменений. В эстонской традиции фамилии часто образовывались напрямую от нарицательных существительных, без дополнительных суффиксов. Поэтому Пязуке — это не «сын такого-то» и не «выходец оттуда-то», а прямое указание на прозвище предка. Если бы фамилия оформлялась по-русски, она звучала бы как Пязуков или Пязукин, но эстонцы сохранили исконную форму.

Встречаются варианты написания: Пязуке, Пязукке, реже Пясуке. Разнобой объясняется тем, что эстонское ä при передаче кириллицей не имеет точного соответствия: его писали и как «я», и как «е». Двойное k в эстонском оригинале (pääsuke) при транслитерации часто упрощали до одного.

Итог простой: фамилия Пязуке — редкий пример прибалтийской фамилии, которая дошла до наших дней почти без изменений. Она говорит о том, что предки носителя были эстонскими крестьянами, а сам человек, первым получивший такое имя, вероятно, отличался подвижностью, юркостью или, возможно, любил ласточек. Точных сведений о том, как именно прозвище закрепилось за родом, не сохранилось, но версия с птицей остается самой правдоподобной.