Фамилия Раигародцкий — редкий случай, когда написание почти наверняка искажено при переписи или в документе. Вероятнее всего, правильная исходная форма — Райгородский или Раигородский. Буква «ц» перед «к» (Раигародцкий) — типичная ошибка писаря, который услышал «тц» на конце суффикса и записал так, как произносилось в говоре.

Если отталкиваться от реконструированной основы «Райгород», то фамилия — типичная топонимическая, образованная по модели «-ский/-цкий». Она указывает на выходца из населённого пункта с названием Райгород, Райгородок или подобного. Такие названия нередки на территории Украины, Беларуси и юга России (например, село Райгородок в Черкасской области или Райгород в Волгоградской области). Слово «рай» в данном случае не обязательно несёт религиозный смысл — часто это народное переосмысление тюркского или балтского корня, либо просто красивое, «райское» место, которое так назвали первые поселенцы.

Обратите внимание на суффикс -цк-: он характерен для фамилий, образованных от названий, оканчивающихся на -город, -град. В классическом варианте мы бы имели «Райгородский», но в некоторых говорах (особенно в белорусских и южнорусских) «г» перед «о» могло смягчаться, а «д» перед «с» переходить в «ц», что и дало форму «Раигародцкий». Таким образом, носитель фамилии — потомок человека, который переселился из Райгорода и получил прозвание по месту прежнего жительства.

Сословная принадлежность предков могла быть разной: от казаков и крестьян до мещан. Фамилии на «-ский» в XVII–XIX веках часто носили польская шляхта или русское духовенство, но в случае с топонимом «Райгород» это скорее указывает на географическое происхождение, а не на высокий социальный статус. Документальных подтверждений известных носителей фамилии в открытых источниках нет — это говорит о её крайней редкости и, возможно, локальном бытовании в одном-двух регионах.

Итог: если вы встретили написание «Раигародцкий», с высокой долей вероятности это искажённый вариант фамилии Райгородский. Корень — название поселения Райгород (или Райгородок), суффикс указывает на «выходца оттуда». Буква «ц» в середине — особенность произношения, закреплённая в документе.