Фамилия Рехмунов — редкий пример, где почти всё приходится реконструировать по косвенным данным. В современных справочниках по русским фамилиям она не упоминается, а её основа неочевидна для носителя языка.

Словообразовательная модель проста: суффикс -ов указывает на типичное русское отчество или прозвище, застывшее в фамилии. Вопрос упирается в корень «Рехмун». Скорее всего, это вариант более известного имени или прозвища Рехман. В русских говорах, особенно на юге и юго-западе, «рехманый» означало «тихий, смирный, кроткий» (от «рехнуть» — утихомириться, присмиреть). Так могли прозвать спокойного, покладистого человека. Если это так, то фамилия Рехмунов — «сын Рехмана», то есть потомок того самого тихого человека.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с тюркскими языками. В некоторых тюркских диалектах «рахман» (через чередование а/е) означает «милостивый» (от арабского корня). В таком случае фамилия могла возникнуть в среде крещёных татар или башкир, где личное имя Рехман (вариант Рахман) давали в честь одного из имён Аллаха. Тогда Рехмунов — русифицированная форма отчества от этого имени.

Третья, самая прозаичная гипотеза — отчество от прозвища, образованного от глагола «рехнуть» в значении «ударить, треснуть» (ср. «рехнуться» — удариться головой, позже — сойти с ума). Если так, то прозвище Рехман мог получить либо задира, либо, наоборот, человек, которого «рехнули» — побили. Но эта версия менее убедительна, так как в основе фамилий обычно лежит именование по характеру или профессии, а не по случайному событию.

География фамилии узкая. Встречается она преимущественно в Поволжье и на Урале — регионах длительного русско-тюркского контакта. Это косвенно поддерживает версию о тюркском происхождении корня. Сословно предки Рехмуновых, скорее всего, были государственными крестьянами или однодворцами — в дворянских родословных книгах эта фамилия не зафиксирована.

Таким образом, наиболее вероятное значение фамилии Рехмунов — «потомок смирного человека» (от русского диалектного слова) или «потомок Рехмана» (от тюркского имени). Обе версии имеют право на существование, и точный ответ зависит от того, в какой именно местности жили предки конкретного носителя фамилии.