Фамилия Рекошайте — редкий образец литовского по происхождению родового имени на русской почве. Она образована от литовского слова reikšti — «значить», «означать», «выражать». Суффикс -айтe (-aitė) в литовской антропонимии — типичный матримониальный или патронимический показатель, который часто добавляли к основе, указывая на принадлежность к роду: буквально «сын» или «дочь» того, кто носил прозвище Рекоша (Reikša). Таким образом, ядро фамилии — прозвище Рекоша, которое мог получить человек красноречивый, толкователь, тот, кто умел «выражать мысли» или разъяснять что-либо.

В литовской ономастике фамилии на -aitė (в мужском варианте -aitis) широко распространены в западной части Литвы, особенно в Жемайтии. После вхождения литовских земель в состав Российской империи многие такие фамилии русифицировались: окончание -aitė могли записывать как -айт, -айтe, -айтис, а иногда и вовсе переделывать на русский лад — в -ов, -ев. Рекошайте, судя по всему, сохранила исходную литовскую форму, что указывает на позднюю фиксацию фамилии или на устойчивую национальную идентичность предков.

Сравните с однокоренными литовскими фамилиями: Рейкша (Reikša), Рейкшайтис (Reikšaitis) — все они от того же reikšti. В русском контексте фамилия могла писаться с буквой «е» после «ш» (Рекошайте) или через «я» (Рекошайте) — оба варианта встречаются. Грамматически это женская форма, но в литовской традиции её могли носить и мужчины, если фамилия передавалась по материнской линии или была записана в метриках как фамилия матери.

Социальный слой носителей — скорее всего, крестьяне или мелкие ремесленники из западных губерний (Ковенской, Виленской), которые не принадлежали к шляхте: у знати были преимущественно фамилии на -ский. Встречаемость фамилии в современных российских базах крайне низкая — единицы, что подтверждает её локальный литовский корень и отсутствие массовой миграции носителей вглубь России. Если вы носите эту фамилию, ваши предки, вероятно, жили в Литве или на приграничных территориях, а само прозвище — память о человеке, который умел «вкладывать смысл» в слова.