Фамилия Рётеки — настолько редкая, что при беглом взгляде кажется иноязычной. Однако её облик, скорее всего, чисто русский, только записанный не по привычным канонам. Ключ к разгадке — суффикс, а точнее, окончание -ки. В русской ономастике фамилии на -кий, -цкий (в женском роде -кая, -цкая) — типичная модель для дворянских или польских фамилий. Но Рётеки — не -кий, а -ки. Это наводит на мысль о форме множественного числа, характерной для северорусских фамилий на -их, -ых. В говорах Архангельской, Вологодской областей фамилии часто застывали в родительном падеже множественного числа: «Из дома Рётеких» превращалось в фамилию Рётеки. Правда, в таком случае ожидалось бы ударение на последний слог (Рётеки́), но написание с «ё» под ударением указывает на иную модель.

Второй вариант — фамилия могла быть образована от прозвища или имени через суффикс -к(а) с последующей русификацией. Основа «Рёт-» встречается в диалектах: «рётя» — так в некоторых областях называли неряху, неопрятного человека, а «рётка» — мелкая редиска или, в переносном смысле, нечто корявое. Прозвище Рётка или Рётек могло закрепиться за человеком с соответствующим характером или внешностью. Тогда фамилия Рётеки — это патроним (по отцу) в форме множественного числа: «дети Рётека» или «род Рётеков», но с усечением до -ки, что встречается в украинской или белорусской традиции (сравните: Гриценко, но иногда Грицки). Учитывая редкость, не исключено, что фамилия — результат искажения при переписи: запись «Рётеких» сократили до «Рётеки» или наоборот, прибавили окончание к основе.

Географически фамилия могла возникнуть на стыке северных и юго-западных говоров — например, в Смоленской или Псковской области, где смешивались русские и белорусские модели словообразования. Сословно: скорее всего, это крестьянская или мещанская фамилия, без дворянской приставки. Известных носителей с такой фамилией в открытых источниках нет, что подтверждает её локальный и редкий характер. Если ваши предки носили фамилию Рётеки, стоит поискать их в метрических книгах северо-западных губерний России — там, где «ё» под ударением и окончание -ки могли быть нормой для местного говора.