Фамилия Римутис — редкий для России случай, когда фамилия не адаптирована под русские суффиксы, а сохранила исходную литовскую форму. В русском языке она склоняется как существительное мужского рода (Римутиса, Римутису), что сразу выдает её иноязычное происхождение.

В основе фамилии лежит литовское личное имя Rimutis — уменьшительно-ласкательная форма от имён с корнем rim-: Rimantas, Rimvydas, Rimgailė. Корень rim- в литовском языке означает «спокойный, тихий, мирный». Суффикс -utis (или -utė в женском роде) выполняет ту же роль, что русские -еньк- или -ик-: он придаёт имени оттенок нежности, ласки, уменьшительности. Таким образом, Римутис — это буквально «маленький спокойный» или «тихоня», но в ласковом, а не обидном смысле.

Географически фамилия Римутис почти наверняка указывает на литовское происхождение предков. В Литве такие фамилии с суффиксом -utis довольно распространены (сравните: Kaziukas, Algiutis). В Россию она могла попасть в XIX–XX веках с переселенцами из западных губерний, входивших в состав Российской империи (Ковенская, Виленская, Сувалкская). Встречается она и в Латвии, но в основном как фамилия литовского меньшинства.

Интересная деталь: в отличие от большинства русских фамилий, у Римутис нет «варианта» с русским окончанием — не было попыток переделать её в Римутисов или Римутин. Это говорит о том, что носители фамилии либо жили компактно в литовской среде, либо фамилия была записана в документах уже в XIX веке, когда чиновники не стремились русифицировать инородческие фамилии. Поэтому Римутис — не «испорченная» русская фамилия, а прямой потомок литовского имени, сохранивший свою форму.