Фамилия Рижамадзе — грузинская, и её разумнее всего разбирать именно в контексте грузинской ономастики, а не русской. Она образована по типичной для Западной Грузии модели: основа плюс суффикс -дзе, который в переводе означает «сын» и соответствует русским фамилиям на -ов. То есть Рижамадзе буквально — «сын Рижама».

Сложность в основе «Рижам». В грузинском языке нет прямого слова с таким значением. Скорее всего, это либо местная диалектная форма, либо усечённое сложное имя. Самая правдоподобная версия: основа восходит к арабскому имени «Раджаб» (седьмой месяц исламского календаря), которое через тюркское посредничество попало в Грузию и видоизменилось. В грузинском быту имя Раджаб могло звучать как «Раджам» или «Рижам», а фамилия от него — Рижамадзе. Подобные примеры есть: от имени Рамаз (краткая форма от Рамазан) образована фамилия Рамазашвили.

Вторая, менее вероятная версия — связь с грузинским словом «рижа» (რჯა), означающим «вера», «религия». Но тогда фамилия скорее звучала бы как Рижадзе, без слога «ма». Этот слог — «ма» — как раз и указывает на личное имя: он часто встречается в грузинских уменьшительных формах (например, Гиви → Гивама, Сосо → Сосама).

Таким образом, предок носителя фамилии Рижамадзе, вероятно, был человеком по имени Рижам (производное от Раджаб). Географически фамилия тяготеет к региону Гурия и Имерети — там суффикс -дзе особенно распространён. В русских документах XIX века фамилию могли записывать как Рижамадзе или Рижамадзе, что не меняет её происхождения. Это не редкая, но и не массовая фамилия: она сохраняет локальный колорит и указывает на западно-грузинские корни рода.