Фамилия Рспутины — редкий случай, когда написание бросается в глаза раньше, чем значение. Первое, что видит читатель: отсутствие гласной после первой согласной. В русской ономастике такой облик почти всегда указывает на искажение при записи или на диалектное произношение. Скорее всего, исходная фамилия звучала как Распутины или Роспутины, и буква «а» или «о» выпала при переписи — либо из-за неграмотности писаря, либо из-за особенностей местного говора, где безударные гласные редуцировались почти до нуля.

Если восстанавливать корень, то основа — -пут- (путь, дорога), а приставка рас- или рос- указывает на разъединение, раздор. Прозвище Распута давали человеку, который «распутил» — то есть развратничал, вёл беспутный образ жизни. В словаре русских фамилий Б. Унбегауна эта модель (приставка + корень + суффикс) разбирается как типичная для прозвищ по поведению. Однако у фамилии есть и другая, менее моралистичная версия: Распута мог быть просто тем, кто живёт на распутье, у перекрёстка дорог, или тем, кто распутывает дела, разбирает путаницу. В этом случае прозвище относилось к профессиональной или бытовой характеристике, а не к пороку.

Географически фамилия Распутины (и её варианты) известна в северных и центральных губерниях России — в Вологодской, Архангельской, Костромской. Там слово «распутица» означало бездорожье, и прозвище могли дать человеку, родившемуся в сезон распутицы, когда дороги размыты и непроходимы. Этот вариант объяснения, хоть и менее популярен, кажется правдоподобным для крестьянской среды, где даты рождения часто заменяли природными приметами.

Форма Рспутины — скорее всего, поздняя описка. Если ваши предки носили именно такое написание, стоит проверить архивные документы: в ревизских сказках XIX века фамилия могла писаться то с «а», то без неё. Такой разнобой — частая история для фамилий, которые не прошли через литературную обработку и остались в «сыром» народном виде.