Фамилия Рымщикова образована от мужской формы Рымщиков, а та — от прозвища или профессии Рымщик. Основа «рым» здесь отсылает к профессиональной среде: в русских говорах рымом называли кольцо, вделанное в стену или борт судна для крепления канатов. Рымщиком, соответственно, мог быть мастер, который изготавливал такие кольца, или работник, который с ними имел дело — на верфи, в порту, на строительстве. Фамилия, таким образом, скорее всего, имеет северное или приморское происхождение, где судостроение и портовое хозяйство были распространены: Архангельская, Вологодская, Олонецкая губернии, а также побережье Белого моря.

Модель образования типична для русских фамилий: суффикс -щик- указывает на род занятий (как Плотников, Каменщиков), а окончание -ов/-ев добавляет значение принадлежности — «сын рымщика». Фамилия редкая, нечастотная, что подтверждает её узкопрофессиональный корень: она не могла возникнуть массово, поскольку само ремесло было специализированным. В отличие от фамилий на -ин (например, Рыбкин), здесь использован суффикс -ов, что характерно для прозвищ, обозначающих профессию, а не личное имя.

В ономастических источниках фамилия не фигурирует среди широко известных, но её морфология и семантика прозрачны. Спорных версий немного: можно предположить связь с диалектным «рым» в значении «толстяк» или «увалень», но это менее вероятно, так как в таком случае суффикс -щик- нетипичен. Сравнение с однокоренными фамилиями — Рымов, Рымарев — показывает, что все они тяготеют к ремесленной или морской тематике. Социальный контекст: носители фамилии, скорее всего, происходили из посадских людей или мастеровых, а не из крестьян, так как ремесло требовало оседлости и принадлежности к цеху.

Написание через «ы» после «р» — результат фонетического процесса: в древнерусском языке после твёрдых согласных писали «ы», а не «и». Встречаются варианты Римщиков (под влиянием литературного произношения), но форма с «ы» более архаична и точнее отражает диалектную основу. Если ваши предки носили эту фамилию, с большой вероятностью они были связаны с судостроением или портовым делом на Русском Севере.