Фамилия Рыжейкина — женская форма мужской фамилии Рыжейкин. В основе лежит прозвище или нецерковное имя Рыжейка. Модель образования типична для русских фамилий: к основе на -а/-я добавляется патронимический суффикс -ин, указывающий на принадлежность («чей?» — сын Рыжейки). Суффикс -ейк- в основе — уменьшительно-ласкательный, характерный для северных и центральных говоров. Получается, Рыжейка — это не просто «рыжий», а «рыженький», что придаёт прозвищу скорее бытовой, даже ласковый оттенок, а не грубый.

Корень фамилии очевиден: цвет волос. Рыжий цвет на Руси всегда бросался в глаза, выделял человека из толпы, поэтому прозвища Рыжий, Рыжак, Рыжуха давали часто. Но форма Рыжейка встречается реже, чем, скажем, Рыжов или Рыжиков. Это говорит о том, что фамилия могла возникнуть в локальной среде, где прозвище закрепилось именно в уменьшительной форме — возможно, так называли младшего в семье или человека невысокого роста с рыжими волосами.

С точки зрения социального происхождения, фамилия Рыжейкин, скорее всего, крестьянская или мещанская. В дворянской среде такие «цветовые» фамилии с уменьшительными суффиксами почти не встречались — там предпочитали более книжные формы на -ский или патронимы от крестильных имён. Географически фамилия может тяготеть к северо-востоку европейской России: в Вологодской, Архангельской, Костромской губерниях уменьшительные формы на -ейка (Ванейка, Петрейка, Рыжейка) были особенно распространены.

Интересная деталь: в дореволюционных документах фамилию могли записать по-разному — Рыжейкин, Рыжекин, Рыжейкина (для женщин). Вариант с буквой «е» после «ж» (Рыжейкин) — более точный с точки зрения произношения: он передаёт звук [й], который в живой речи сохранялся. В XX веке при паспортизации часть носителей могла потерять этот «й» в написании, но форма Рыжейкина осталась устойчивой.

Однокоренные фамилии — Рыжов, Рыжиков, Рыжаков, Рыжков. Но Рыжейкина стоит особняком: она не просто указывает на признак, а фиксирует конкретное прозвище, которое, вероятно, было личным именем в семье. Если ваш предок носил фамилию Рыжейкин, то с большой вероятностью он происходил из среды, где внешность давала устойчивое и необидное прозвище, которое затем перешло к детям.