Фамилия Саешников — редкий случай, когда прозвище-основа почти полностью растворилась в суффиксе. Самое очевидное, что бросается в глаза: это не «Саешников» от «Саешника» (такого слова нет), а «Саешников» от «Саешный» или напрямую от «Сая». Модель образования типична для русских фамилий на -ов: сначала было прозвище Саешный или Саешник, а затем его «притяжательный» вариант — «чей?» — Саешникова, то есть сын Саешного.

Корень здесь — «Сая». В русских говорах сая — это не только река в Сибири, но и диалектное название: в южных и центральных областях саей называли верхнюю мужскую одежду, род кафтана или армяка. В вятских и пермских говорах сая — это детская распашонка, рубашонка. Прозвище Сая мог получить портной, который шил эту одежду, или человек, носивший характерную саю. Вторая версия, менее популярная, но имеющая право на существование: сая — это небольшой челн, лодка-долбленка (из тюркских языков). Тогда Саей могли прозвать лодочника, перевозчика или рыбака.

Суффикс -ешн- в фамилии Саешников — это, скорее всего, искажённое -ешн- от «саешный» (то есть «относящийся к сае»). В русской ономастике встречаются фамилии, где основа с -ешн- возникала как притяжательное прилагательное от прозвища на -а: например, Саешный — человек, связанный с Саей (сын Саи, работник Саи). Со временем -ешн- в фамилии закрепилось, и получился Саешников, а не, скажем, Саин или Саев.

Фамилия крайне редкая. В дореволюционных переписях она почти не встречается, что говорит о её позднем оформлении или локальном бытовании. Скорее всего, предки Саешниковых жили в северных или центральных губерниях России, где слово «сая» было в ходу. Никаких дворянских корней или громких исторических носителей за этой фамилией не числится — это типичная крестьянская или ремесленная фамилия, образованная от прозвища по занятию или предмету одежды.