Фамилия Сауыртаева — редкий пример, где географическое название стало основой фамилии, причём не через дворянскую приставку «фон» или «де», а через народную модель прозвища. Разбираем её по частям.

Корень «Сауыр» — это тюркский топоним. Сауыр (Саур) — горный массив на границе Казахстана и Китая, часть хребта Тарбагатай. В казахском и других тюркских языках «сауыр» означает «круп, крестец» (часть спины животного), что в переносном смысле могло закрепиться за формой горы — пологой, округлой. Встречается и вариант «Саур» — так называется и степная река в Оренбуржье, и древнее укрепление в Крыму, но для этой фамилии исходной точкой, скорее всего, стал именно казахский топоним.

Суффикс «-таев» (женская форма «-таева») — это не суффикс в русском понимании, а часть тюркской патронимической модели. Основа «Сауыртай» — это не просто «человек с горы Сауыр», а конкретное личное имя или прозвище. В казахской антропонимике имена, оканчивающиеся на «-тай», часто указывали на принадлежность к роду или местности: «Сауыртай» могло означать «тот, кто с Сауыра», «сауырский». Со временем, при переходе в русскую паспортную систему, к имени Сауыртай добавили русский суффикс принадлежности «-ев/-ева», что дало форму Сауыртаев/Сауыртаева.

Таким образом, предок носительницы этой фамилии — человек по имени Сауыртай. Вероятно, он происходил из местности у гор Сауыр (современный Восточно-Казахстанская область, район Зайсана). В XIX — начале XX века, при фиксации фамилий у кочевого населения, русские чиновники часто записывали отчество или родовое прозвище старшего мужчины в семье как фамилию для всех потомков. Так имя Сауыртай, обозначавшее «уроженец Сауыра», стало родовой фамилией.

Интересная деталь: если сравнить с однокоренными фамилиями (Сауров, Саурбаев), то «Сауыртаева» — более редкий вариант, сохранивший полную тюркскую основу с суффиксом «-тай», а не усечённую русскую форму. Это указывает на более позднюю или более точную запись фамилии, без отбрасывания «лишних», с точки зрения русского языка, слогов.