Фамилия Савозькин — редкий пример, где за привычной «русской» формой на -ин скрывается неочевидная основа. Если сразу отбросить суффикс -ин (указывающий на принадлежность: «чей?» — сын Савозьки), остаётся корень «Савозьк-». В нём слышится что-то иноязычное, и это не случайно.

Скорее всего, в основе лежит прозвище или вариант имени Савва. Полное имя Савва в народной речи часто укорачивали и переделывали: Савка, Савушка, Савостьян. Форма «Савозька» могла возникнуть как диалектное или искажённое произношение от «Савостька» (от имени Савостьян, народной формы Севастиана). Суффикс -к- в таких прозвищах был уменьшительно-ласкательным или просто обиходным. Таким образом, Савозька — это человек по имени Савва или Савостьян, а Савозькин — его потомок.

Менее вероятная, но возможная версия отсылает к диалектному слову «савозить» — в некоторых говорах так говорили про медлительного, возящегося человека, или про того, кто «садит воз» — грузит. Тогда прозвище Савозька мог получить нерасторопный работник или, наоборот, возчик. Но этот путь сложнее, а имя Савва в качестве основы выглядит естественнее.

Фамилия редкая и географически не привязана к одному региону. Встречается разрозненно, что типично для фамилий, образованных от личных имён без привязки к ремеслу или местности. Суффикс -ин выдаёт северное или восточное происхождение (в отличие от западного -ов), но для такой редкой фамилии это скорее техническая деталь, чем указание на точную родину предков.

Словообразовательная модель проста: прозвище на -ка (Савозька) плюс притяжательный суффикс -ин. Никаких дополнительных суффиксов вроде -ск- здесь нет, поэтому попытки связать фамилию с географическим названием (вроде Савожка или Савозино) не имеют оснований — это был бы Савозьский, а не Савозькин.