По одной из версий, в основе прозвища Саврище лежит старинное славянское слово «савра» — «песня». Исходя из этого, можно предположить, что Саврищем называли человека с красивым голосом или того, кто сочинял песни. В этом случае прозвище относилось к числу «профессиональных»: например, так могли называть хорошего наездника. Наконец, Саврище может быть просторечным вариантом имени Сафрон (в переводе с греческого - «благоразумный»). Таким образом, потомок человека, обладающего прозвищем Саврище, со временем получил фамилию Саврищева.