Фамилия Саврищева образована от прозвища или мирского имени Саврище, и её происхождение неоднозначно. Ономасты предлагают несколько версий, и ни одна из них не является бесспорной.

Самая поэтичная гипотеза возводит основу к старинному славянскому слову «савра» — «песня». В этом случае Саврищем могли прозвать человека с редким, красивым голосом, певца или сочинителя песен. Такое прозвище относилось бы к «профессиональным» именованиям, которые на Руси часто заменяли человеку фамилию. Однако у этой версии есть слабое место: слово «савра» в значении «песня» фиксируется крайне редко и в основном в южнославянских говорах, поэтому для северорусских территорий, где фамилия встречается чаще, она менее характерна.

Более приземлённая версия связывает прозвище с мастью лошади — саврасой, то есть светло-гнедой с чёрным хвостом и гривой. В этом случае Саврищем могли называть либо самого коня, либо, что вероятнее, наездника, который любил или умел обращаться с такими лошадьми. Такой вариант объясняет появление суффикса -ищ-, который в древнерусском языке часто использовался для образования имён от прилагательных, обозначающих характерный признак.

Наконец, не стоит сбрасывать со счетов и просторечную форму имени Сафрон. В переводе с греческого Софроний означает «благоразумный», а в народной речи имя могло редуцироваться до созвучного Саврище. Эта версия правдоподобна, так как многие русские фамилии возникли из уменьшительных или искажённых форм календарных имён.

Фамилия закрепилась в женском роде как Саврищева, что типично для русской традиции: жена или дочь Саврища получала фамилию отца. Суффикс -ев указывает на принадлежность, то есть буквально «дочь или жена Саврища». Сословной привязки у фамилии нет: её могли носить и крестьяне, и посадские люди, поскольку прозвища такого типа были распространены во всех слоях общества.