Фамилия Саяшкина — женская форма, а её мужской вариант — Саяшкин. С точки зрения словообразования всё прозрачно: суффикс -ин указывает на принадлежность («чей?»), то есть исходно это было отчество или прозвище отца: «сын Саяшки». А вот с корнем сложнее — он редкий и неочевидный.

Самая прямая версия связывает фамилию с разговорным именем Саяшка. Это уменьшительно-ласкательная форма от крестильного имени Савва (краткое Сава → Сая) или, реже, от Савелий. В русских говорах имена нередко «ужимали»: Сава превращалось в Саю, а затем добавляли типичный фамильный суффикс -шк- (как в Гришка, Мишка, Пашка). Так Сая + шка давало Саяшку, а от него — Саяшкина. Если это так, предок носителя фамилии мог быть Саввой или Савелием, и в обиходе его звали ласково Саяшкой.

Есть и вторая, менее вероятная, но не исключённая версия: от прозвища Саяшка, связанного с диалектным словом «саять» — в некоторых говорах так говорили о блеске, сиянии или, наоборот, о чём-то тусклом и мутном (ср. «сая» — тень, отсвет). В этом случае прозвище могли дать человеку с необычным цветом глаз или волос — например, «светлому, как солнце», или, наоборот, «невидному, бледному». Но эта версия слабее: диалект узко локален, а имя Савва было распространено повсеместно.

Географически фамилия Саяшкин встречается преимущественно в центральных и южных регионах России — в Воронежской, Тамбовской, Рязанской областях, а также в Поволжье. Это зона, где имя Савва было особенно популярно среди крестьян и мещан. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано — скорее всего, это крестьянская или посадская фамилия, возникшая в XVII–XVIII веках, когда фамилии на -ин массово давали по отцу.

Если сравнивать с однокоренными, то к той же основе восходят фамилии Саянов, Саев, Савин. Но Саяшкин стоит особняком из-за суффикса -шк-, который придаёт ей явный уменьшительно-ласкательный оттенок. В старых документах встречается написание через «о» — Саяшков, но это редкий вариант, скорее всего, результат местного аканья или ошибки писаря.