Этимология фамилии Шаев, принадлежащей к распространенному типу русских фамилий, восходит к личному прозвищу. Фамилия Шаев восходит к глаголу “шаять, шаить”, что в сибирских говорах означало “гореть без пламени, тлеть, гореть жаром”, а также “таять, плавиться”. Возможно, фамилия Шаев образована от прозвища Шай, которое могли дать человеку, пережившему пожар. Однако прозвище может быть связано с профессиональной деятельностью предка (он мог быть печником), или с его характером (он мог быть тихим, мог долго болеть, угасать). В результате, потомки человека, обладающего прозвищем Шай, со временем получили фамилию Шаев. Поэтому точно сказать, когда и где впервые появилась фамилия Шаев, сложно.