Фамилия Щацкая — женская форма фамилии Щацкий, и её происхождение почти наверняка связано с географическим названием. В основе лежит топоним Щацк или Щацк — так в старину называли город Шацк (ныне в Рязанской области). Написание через «ща» — не ошибка, а отражение старого произношения или местного говора: в документах XVII–XVIII веков фамилии нередко записывали на слух, и буква «щ» вместо «ш» встречалась. Выходит, что Щацкая — это указание на выходца из Шацка или его окрестностей.

Модель образования типична для дворянских и мещанских фамилий центральной России: основа «Щацк» плюс суффикс -ск- и окончание -ая. По такой же схемы сложились фамилии Тамбовская, Казанская, Ржевская. В отличие от крестьянских фамилий на -ов/-ев, которые чаще привязывали к отцу или прозвищу, фамилии на -ский/-цкий в основном давали людям, переселившимся из другого города, или духовенству (по названию прихода). Поэтому предок носительницы фамилии мог быть либо переехавшим в другую местность жителем Шацка, либо священником, служившим в храме, посвящённом иконе или святому, связанному с этим городом.

Интересная деталь: в русской ономастике фамилия Щацкая встречается реже, чем Шацкая, и это делает её отличительным признаком. Если ваш предок писался через «ща», это может указывать на конкретный регион бытования — например, на южнорусские или украинские земли, где «щ» произносили твёрже и ближе к «шч». В переписных книгах XVII века встречаются записи «Щацкой» в однодворческих слободах Тамбовщины и Воронежчины — потомки служилых людей, получивших землю за охрану границы.

Таким образом, фамилия Щацкая — не про профессию и не про личное качество, а про малую родину. Она говорит, что ваш предок был «щацким» — то есть пришёл из Шацка или его уезда, а в новой местности его прозвали по месту выхода.