Фамилия Щегурёнкова — женская форма мужской фамилии Щегурёнков, и её разбор стоит начать с суффикса. Суффикс -ёнков (-ёнок) указывает на севернорусское происхождение: в Новгородской, Вологодской, Архангельской губерниях отчества часто образовывали с помощью уменьшительного суффикса -ёнок, а затем добавляли -ов. То есть Щегурёнков — буквально «сын Щегурёнка», а Щегурёнок — это прозвище или уменьшительная форма от более старой основы.

Корень здесь — «щегур». Он прозрачно связан со словом «щегол» — лесной певчей птицей с ярким оперением. В русских говорах «щегур» или «щегурёнок» могло быть прозвищем щеголеватого, нарядно одетого человека, любителя покрасоваться. Вспомните «щеголь» и «щеголять» — тот же смысловой ряд. Птица щегол всегда ассоциировалась с яркостью и щегольством, поэтому прозвище Щегурёнок давали либо франту, либо человеку с пёстрой, заметной внешностью (например, рыжими волосами).

Есть и другая, менее очевидная версия: в некоторых диалектах «щегура» называли суетливого, непоседливого человека — по манере поведения щегла, который постоянно вертится. Но первая версия, с нарядностью, встречается чаще и подкрепляется данными словаря русских фамилий.

Географически фамилия Щегурёнков (и её женская форма) редка, но встречается в основном на севере европейской части России — в Архангельской области, реже в Вологодской. Это подтверждает и характерный суффикс -ёнков, который почти не распространён в южных и центральных регионах. Если ваши предки носили эту фамилию, они, скорее всего, были крестьянами или посадскими людьми из Поморья или Заонежья — в тех краях фамилии на -ёнков фиксируются с XVII века.

Таким образом, Щегурёнкова — это не просто «птичья» фамилия, а указание на характер или внешность предка: скорее всего, он был заметным, модным или суетливым человеком, за что и получил прозвище в честь щегла.