Фамилия Щих — редкий пример «застывшего» родительного или предложного падежа множественного числа в русской антропонимии. По своей модели она принадлежит к группе фамилий на -их/-ых, которые в центральной России и на Русском Севере указывали на принадлежность к роду или дому: «из семьи Щих» — то есть тех, кого в округе звали Щи или Ща. Если фамилии на -ов/-ев отвечали на вопрос «чей?», то Щих отвечает на вопрос «из чьих?» или «где живут?».

Основа фамилии — прозвище Щи или Ща. Самое прямое объяснение: прозвище могли дать любителю или варителю щей, то есть повару, либо человеку, который торговал этим блюдом. В старину «щами» называли не только капустный суп, но и похлёбку, и вообще горячее жидкое кушанье — прозвище могло закрепиться за тем, кто славился своей стряпнёй или, наоборот, слишком часто ел щи. В говорах встречается и глагол «щить» — есть щи, хлебать, так что возможна и глагольная основа.

Менее вероятная, но не исключённая версия — связь с диалектным «щик» (птица щегол) или «щикать» (пищать, издавать тонкий звук). В таком случае прозвище Щи могло относиться к человеку с высоким голосом или к тому, кто подражал птичьему свисту. Однако корень «щ-» в значении «еда» встречается в русских фамилиях чаще (ср. Щеглов, Щипачёв, Щиголев), и для прозвища Щи это более надёжная опора.

Фамилия Щих — почти исключительно русская, сконцентрированная на юге России и в Поволжье, особенно в бывших казачьих областях. У донских и кубанских казаков фамилии на -их были особенно распространены как указание на семейную принадлежность (Иваних, Петрих, Щих). Встречается она и на Украине, но в украинской среде чаще переоформлялась в Щиченко или Щичук.

Историческая запись фамилии редка: в переписях и ревизских сказках XIX века Щих фигурирует в Воронежской и Харьковской губерниях. Знатных или широко известных носителей фамилия не дала — это фамилия простых крестьян, казаков и мещан, чьё прозвище закрепилось за родом по-домашнему, без перехода в официальную форму на -ов.