Фамилия Щшоыык — настолько редкий случай, что её написание выглядит как опечатка или намеренная деформация. В русской ономастике не существует фамилий с таким набором согласных и гласных. Скорее всего, перед нами искажённая запись фамилии Щукин, Щеглов, Щапов или Щербак. В дореволюционных документах, особенно при записи со слов малограмотного писаря, фамилию могли записать на слух, а потом переписать с ошибкой. Сочетание «щш» — нетипично для русского языка, и носитель такой фамилии почти наверняка столкнётся с проблемами при заполнении бумаг.

Если предположить, что это не ошибка, а сознательное изменение, то фамилия могла возникнуть как прозвище по дефекту речи или как шутливое переосмысление. Например, «щшоыык» могло быть звукоподражанием шипению или шепелявому произношению. В русских говорах есть слова с корнем «щек-», «щок-», означающие трещину, щель или звук удара, но в данном виде фамилия не зафиксирована ни в одном ономастическом словаре.

С точки зрения словообразования, суффикс -ык характерен для украинских и южнорусских фамилий (Ковалык, Дудык), но основа «щшо-» не имеет аналогов. Если же отбросить букву «ы», то получим вариант «Щшок» — возможное искажение от «Щёк» (от слова «щека»). В этом случае фамилия могла указывать на человека с приметной щекой — родимым пятном, шрамом или полнотой.

География бытования фамилии Щшоыык неизвестна. В базах данных переписей и телефонных справочников она отсутствует. Вероятнее всего, это единичный случай, возникший при переписи населения в XX веке из-за невнимательности переписчика или из-за того, что носитель сам не знал точного написания своей фамилии. Если вы носите эту фамилию, стоит проверить архивы ЗАГСа или старые метрические книги — возможно, исходная форма была другой, и её удастся восстановить.