Фамилия Шэнковыч — редкий случай, когда сразу бросается в глаза суффикс. Окончание -ыч обычно указывает на отчество в белорусской традиции (как в фамилиях Мицкевич, Ковалевич). Однако основа «Шэнко-» здесь нестандартная. Скорее всего, перед нами не прямое отчество от имени Шэнка, а фамилия, образованная от прозвища Шэнко через патронимический суффикс -ович, который в белорусском языке часто редуцировался до -ыч. То есть «Шэнковыч» буквально значит «сын Шэнка».

Корень «Шэн-» — самый интересный и спорный. В славянской ономастике он может восходить к диалектному слову «шень» (тень, призрак) или к глаголу «шенить» (медлить, тянуть). Но правдоподобнее версия, что это фонетический вариант имени Шеня — уменьшительной формы от древнееврейского имени Иоанн (Иван) через польское Jan, которое в народной речи могло дать формы Шень, Шеня. В таком случае Шэнко — это западнославянский или белорусский вариант уменьшительного имени, а Шэнковыч — «потомок маленького Ивана».

Географически фамилия тяготеет к западным регионам бывшего Великого княжества Литовского: современная Беларусь, восточная Польша, западная Украина. Встречается она крайне редко, что говорит о локальном происхождении — возможно, от прозвища одного человека в конкретном селе или местечке. В отличие от массовых фамилий на -ов, такие формы на -ыч часто сохраняли социальный оттенок: в старину их могли носить не только крестьяне, но и мещане, а иногда и мелкая шляхта, если фамилия фиксировалась в метриках костела.

Отдельно стоит отметить написание с «Ш» в начале. В русском языке привычнее было бы «Шенкович», но форма «Шэнковыч» выдает местное произношение с твёрдым «э» и подчёркнутым «ы». Это не ошибка, а живая фонетика говора. Если у вас такая фамилия, ваши предки почти наверняка были уроженцами белорусско-польского пограничья, а сама фамилия закрепилась не позднее XVIII века, когда патронимы на -ович/-евич перестали быть отчествами и стали наследственными.