Фамилия Шилгалис — случай, когда форма подсказывает географию точнее, чем корень. Окончание -ис выдает литовское или латышское происхождение: в балтийских языках это типичный патронимический суффикс, соответствующий русскому -ов/ев. В Литве такие фамилии на -ис — одни из самых распространенных, и Шилгалис могла возникнуть именно там, а затем, с миграцией в XIX–XX веках, попасть в русскоязычную среду.

Основа Шилгал- не имеет однозначного толкования в русском языке, но в литовском просматривается связь с глаголом šilti (греться, теплеть) или прилагательным šiltas (теплый). Возможна и другая версия: от литовского šilagalvis — сложение šilas (вереск, пустошь) и galva (голова, верхушка). Тогда прозвище Шилгалис могло означать «тот, кто живет на вересковой возвышенности» — типичное для балтийской ономастики описание места жительства.

Словообразовательная модель проста: суффикс -ис (лит. -is) превращает прозвище в фамилию. Сословной привязки у такой фамилии нет: в Литве и Латвии фамилии на -ис носили и крестьяне, и мещане, и шляхта, а в России носители Шилгалис — это, скорее всего, потомки переселенцев из западных губерний, которые осели в Сибири или на Урале во время столыпинской реформы или позже.

Встречается также вариант написания Шильгалис — с мягким знаком, что характерно для русифицированной передачи литовских фамилий в документах XIX века. Если ваши предки записаны именно так, это указывает на период, когда фамилию адаптировали к русской графике, но звучание осталось прежним.