Фамилия Шкюте — редкий случай для русского ономастикона. Скорее всего, перед нами не исконно русская фамилия, а литовская или жемайтийская, записанная кириллицей. В литовском языке фамилии женского рода часто оканчиваются на -ė, -utė, -ytė, что передаётся по-русски как -е, -юте, -ите. Шкюте — это типичная литовская женская фамилия, образованная от мужской основы Шкюс (Škius) с помощью суффикса -utė, указывающего на принадлежность (дочь или жена Шкюса). Мужской вариант звучал бы как Шкюс, а женский — Шкюте.

Корень этой фамилии, скорее всего, восходит к литовскому слову «škiūtis» или диалектному «škius», что означает «скиталец», «бродяга» или, в более узком смысле, «человек, который постоянно меняет место жительства». В литовской антропонимике такие прозвища давали людям непоседливым, не имеющим постоянного дома или пришлым. Есть и другая, менее распространённая версия: связь с глаголом «škiūti» — «быстро идти», «семенить», что могло быть прозвищем за походку.

В русском контексте фамилия Шкюте — явный след балтийского влияния, характерный для западных регионов (Псковская, Смоленская области, Калининград). Встречается она крайне редко, и её носители, вероятно, потомки литовцев или жемайтов, переселившихся на восток. Если вы встретили Шкюте в России, почти наверняка корни семьи — из Литвы или приграничных районов Беларуси. Фамилия не меняется по падежам в русском языке (как и все на -е, -у).