Фамилия Слайчевская — женская форма, образованная от мужской Слайчевский. Её основа неочевидна, но если разобрать словообразовательную цепочку, проступает связь с прозвищем или профессией. Суффикс -евск-/-овск- типичен для польской и западнорусской модели образования фамилий от географических названий или личных имён. В данном случае корень «Слайч-» почти наверняка восходит к глаголу «слаить» — в некоторых южнорусских и украинских говорах так говорили о смазывании, смазывании колёс дёгтем или о натирании чем-то жирным. Отсюда «слайка» — мазь, смазка, а «слайчий» — тот, кто занимался смазыванием, возможно, колёсный мастер или дегтяр.

Менее вероятная, но допустимая версия — связь с польским словом «ślaj» (след, полоса) или «ślajczyć» (тащиться, волочиться). В таком случае прозвище Слайч мог получить человек, который оставлял за собой след, например, возчик или пахарь. Однако польская огласовка с «śl» обычно передаётся в русском как «шляй-», а не «слай-», поэтому первая версия выглядит убедительнее.

Географически фамилия Слайчевский редка, её следы ведут на запад современной России и в восточную Беларусь, где были распространены прозвища от ремёсел с суффиксом -ч- (слайчий, ткач, гончар). Сословная принадлежность носителей, скорее всего, крестьянская или мещанская — дворянские фамилии на -ский в этом регионе обычно образовывались от названий имений, а не от ремесленных прозвищ. В XX веке фамилия могла изменить окончание под влиянием украинской или польской орфографии, но основа осталась прежней.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Слайков, Слайкин, Слайченко — подтверждает, что корень «слай-» в русской ономастике редкий и почти всегда связан со смазкой или мазью. Если ваши предки носили фамилию Слайчевские, они, вероятно, происходили из среды ремесленников, обслуживавших колёсный транспорт, или жили в местности, где «слаить» было обычным словом для обозначения мастера по дёгтю.