Фамилия Сливенская — относительно редкая, и её происхождение почти наверняка связано с географическим названием, а не с ремеслом или личным прозвищем. В этом её главная особенность: суффикс -ск- указывает на принадлежность к местности, так что перед нами типичная «географическая» фамилия, которую в старину получали выходцы из определённого места.

Скорее всего, основа — топоним Сливно или Сливен. Самое прямое соответствие — болгарский город Сливен. Выходцы оттуда, переселившись в Россию, могли получить прозвание «Сливенский», которое со временем закрепилось как фамилия. Менее вероятно, но возможно, что корень связан с русским диалектным словом «слива» или «сливной» (например, место, где сливали воду), но в таком случае фамилия звучала бы как Сливин или Сливов, а не Сливенская. Форма на -ская чаще всего говорит о дворянском или шляхетском происхождении: так образовывали фамилии помещики по названию своих имений. Однако в XIX веке такие фамилии могли давать и в духовных училищах, и просто крестьянам, переселившимся из другого села.

Женская форма Сливенская указывает на то, что мужской вариант — Сливенский. В России фамилия встречается крайне редко, в основном в центральных областях и на юге, что косвенно подтверждает гипотезу о переселенцах из Болгарии или с Балкан. В ономастических справочниках эта фамилия не упоминается в числе частых, поэтому её носители, скорее всего, ведут род от одного или нескольких переселенцев, а не от массового прозвища.

Если копнуть глубже, то болгарский город Сливен получил название от славянского слова «слив» — то есть «сливовый сад». Так что в конечном счёте фамилия Сливенская может восходить к плодовому дереву, но не напрямую, а через название города. Это делает её не бытовой, а «географической» и, вероятно, связанной с историей миграций славянских народов.