Фамилия Спешинский — один из тех случаев, когда географическая привязка почти очевидна, а вот внутренняя форма слова заставляет задуматься. Типичный «-ский» суффикс в русских фамилиях чаще всего указывает на происхождение от названия места: села, усадьбы или городка. И Спешинский, скорее всего, образован от топонима Спешино или Спешин. Такие названия встречаются в центральной России и на Урале — деревни с корнем «спеш-» были, например, в бывшей Пермской губернии. Человек, переселившийся из такого села, получал прозвание по месту выхода: «Спешинский» — значит «выходец из Спешина».

Корень «спеш-» вызывает два основных толкования, и оба рабочие. Первое — от слова «спех», то есть поспешность, торопливость. Прозвище Спех или Спеш мог получить человек торопливый, нетерпеливый, либо, наоборот, тот, кто делал всё быстро и споро. В старину это было распространённое мирское имя: в документах XVI–XVII веков встречаются крестьяне и посадские люди по прозвищу Спешой. От такого прозвища легко могло образоваться название деревни Спешино — «деревня Спеша и его потомков». Второй вариант — диалектный: в некоторых говорах «спешить» значило «торопиться, успевать», но также «спеть, поспевать» (о плодах). Однако первая версия надёжнее, потому что прозвища от глаголов действия — один из главных источников русских фамильных основ.

Модель образования стандартна для дворянских и церковных фамилий: основа на -ин- (Спешин) плюс суффикс принадлежности -ский. В XVIII–XIX веках такие фамилии часто закреплялись за духовенством: семинаристам давали «красивые» фамилии по названиям сёл или по искусственным корням. Не исключено, что Спешинские — это бывшие семинаристы, получившие фамилию по родному селу. Но есть и другая линия: в родословных книгах упоминается дворянский род Спешинских из Смоленской губернии, восходящий к XVII веку. Там фамилия тоже привязана к поместью.

В написании подвоха нет: Спешинский пишется через «е», ударение — на второй слог: Спе́шинский. Вариант с «и» (Спишинский) — редкая ошибка, но в старых метрических книгах иногда путали «е» и «и» из-за аканья. Если ваши предки носили эту фамилию, ищите корни в селах с названием Спешино — их немного, но они есть, особенно в бывшей Владимирской и Пермской губерниях.