Фамилия Сынильнык — редкая и неочевидная. Чтобы понять её корни, нужно отбросить привычные модели на -ов/-ев или -ин и присмотреться к южнорусским и украинским словообразовательным традициям.

Скорее всего, основа здесь — «Сынильна» или «Сынильный». Суффикс -ык (или -ик) в украинской и польской ономастике часто указывает на носителя признака: «Сынильнык» — это человек, связанный с чем-то синим. Самое прямое толкование — профессия красильщика. В старых ремёслах «синильник» (или «синильщик») — мастер, окрашивающий ткани в синий цвет, обычно кубовый или индиго. Фамилия могла закрепиться за предком, который владел красильным промыслом или жил рядом с красильней.

Менее вероятная, но возможная версия — происхождение от прозвища «Сынильнык» по внешнему виду: человека с синеватым оттенком кожи (например, от постоянной работы с краской) или того, кто носил синюю одежду. В говорах слово «синиль» могло означать и синяк, но для фамилии это слишком грубое и маловероятное объяснение.

Географически фамилия тяготеет к западным и центральным областям Украины, а также к югу России, где украинское влияние на фамилии было сильным. Встречается она крайне редко, что говорит о локальном происхождении: возможно, от названия хутора или села, где жил единственный красильщик. Сравните с однокоренными фамилиями Синильников, Синельников — они образованы по той же модели, но с русским суффиксом -ов. «Сынильнык» сохранил более архаичную, «ремесленную» форму без родового окончания.

Если ваши предки носили эту фамилию, они почти наверняка были мастерами-красильщиками или происходили из семьи, где этот промысел передавался по наследству. Других убедительных гипотез у этой фамилии нет — слишком прозрачна её профессиональная основа.