Фамилия Сывокинь — редкий случай, когда в глаза сразу бросается окончание. Обычные русские фамилии на -ин образуются от основ на -а/-я (Сыво́ка → Сывокин), но здесь финаль -инь указывает на иной путь. Скорее всего, перед нами не вариант притяжательного суффикса, а часть слова, оставшаяся от прозвища или имени, которое закончилось на мягкий согласный: Сывокинь могло быть исходной формой, где -инь — суффикс, встречающийся в северных и сибирских говорах (сравните фамилии Рыбинь, Козинь, хотя они крайне редки). Есть и более прозаичная версия: фамилию могли записать на слух, и в документах она исказилась из Сывокин — потеря конечного -н или замена -ин на -инь при переписи.

Основа «Сывок-» ведёт к прозвищу Сывок, которое, в свою очередь, связано с прилагательным «сывой» — в диалектах так называли седого, белесого человека, а иногда и лошадь сивой масти. Корень тот же, что в слове «сивый» (сивый мерин), но с чередованием гласных: ы вместо и. В русских говорах «сывок» могло означать «сивый, седой, бледный» или «ворчливый старик» (от сыво — сивый, то есть седой). Прозвище давали либо по цвету волос, либо по характеру: в некоторых регионах «сывой» — угрюмый, неприветливый человек.

География фамилии узкая. Сывокинь встречается в основном в южных областях России — в Воронежской, Ростовской областях, а также на Кубани. Это не случайно: в южнорусских говорах слово «сывой» сохранилось лучше, чем в северных, где его вытеснило «сивый». Фамилия могла закрепиться за казачьими родами — прозвища по внешности были типичны для вольных поселенцев.

Редкий суффикс -инь отличает Сывокинь от более частых Сывоковых и Сывокиных. Если бы фамилия образовалась стандартно, от имени Сывока (гипотетическое уменьшительное от Сывой), она звучала бы как Сывокин. Разница в одну букву — и перед нами либо диалектная особенность, либо ошибка писаря, которую носители фамилии сохранили как родовую черту.