Фамилия Тафреши — редкий случай в русском ономастиконе, и её происхождение почти наверняка не связано со славянскими корнями. В русском языке нет ни основы «тафр-», ни суффикса «-еши», который бы указывал на типичную модель образования фамилий (как -ов, -ин, -ский). Поэтому первое, что приходит в голову: перед нами фамилия, принесённая в Россию извне, скорее всего, с Востока.

Самый вероятный источник — топоним Тафреш (или Тафреши). В Иране есть город Тафреш в провинции Меркези, а также одноимённый шахрестан (округ). Фамилия Тафреши в таком случае означает «родом из Тафреша» или «тафрешский». По модели образования это типичная нисба — арабский или персидский способ указывать на происхождение по месту, добавляя окончание -и. В русской среде такая фамилия могла закрепиться у выходцев из Ирана, Закавказья или Средней Азии, где персидское влияние было сильным. Носители фамилии могли быть торговцами, ремесленниками или религиозными деятелями, переселившимися в Российскую империю в XIX — начале XX века.

Менее вероятна, но возможна версия, что Тафреши — это русифицированная форма какой-то другой фамилии, например, татарской или кавказской, где исходная основа со временем исказилась. Однако никаких следов такого переосмысления в доступных источниках нет. В любом случае, у фамилии нет славянской этимологии, и её не стоит искать в словарях русских фамилий вроде Унбегауна или Веселовского — там её просто не будет.

Географически Тафреши встречается в России единично, в основном в крупных городах и на юге страны, что косвенно подтверждает версию о миграционном происхождении. Фамилия не входит ни в один список распространённых русских фамилий, и её носителей, скорее всего, всего несколько семей. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать корни в иранском или тюркском мире, а не в древнерусских прозвищах.