Фамилия Такжейко звучит не по-русски, и это ключ к её происхождению. В ней отчётливо видна белорусская или украинская модель с суффиксом -ейко, который в восточнославянских фамилиях выполнял роль уменьшительно-ласкательного или патронимического показателя. По сути, Такжейко — это «маленький Такжей» или «сын Такжея». В белорусской ономастике суффикс -ейко (как в фамилиях Борейко, Мацейко, Андрейко) типичен для запада и центра Беларуси, а также встречается на смежных территориях Украины и Польши.

Основа фамилии — Такжей — вероятнее всего, восходит к прозвищу. Разобрать её можно двояко. Первая версия: от глагола «такжать» — диалектного слова, означавшего «тянуть, мешкать, делать что-то медленно». В белорусских говорах «такжаць» — синоним «волынить». Тогда прозвище Такжей дали неторопливому, медлительному человеку. Вторая версия, менее правдоподобная, но возможная: от польского «także» («также, тоже») — такое прозвище мог получить тот, кто постоянно вставлял в речь это слово, или человек, который во всём подражал другим.

Суффикс -ейко придаёт фамилии яркую региональную окраску. В отличие от русских фамилий на -ов/-ев или -ин, которые образуются от полных форм имени или профессии, модель на -ейко характерна именно для западнорусских земель, где долгое время бытовала традиция называть людей по прозвищам с уменьшительным оттенком. В писцовых книгах Великого княжества Литовского XVI–XVII веков можно встретить множество записей крестьян и мещан с такими окончаниями — это был не аристократический, а народный способ образования фамилий.

Встречаемость фамилии Такжейко сегодня невысока. Основной ареал её бытования — Гродненская и Брестская области Беларуси, а также приграничные районы Польши. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были крестьянами или ремесленниками из этих мест. Никаких дворянских гербов или известных исторических личностей с такой фамилией не зафиксировано — это чисто народное именование, которое закрепилось за родом где-то в XVIII–XIX веках.