Фамилия Тангулина — наглядный пример того, как редкая модель словообразования помогает сузить круг поиска. В русских фамилиях суффикс «-улин» встречается нечасто, и почти всегда он указывает на прозвище, образованное от глагола с суффиксом «-ул-» (например, «играть» — «игруля», отсюда фамилия Игрулин). В основе Тангулина лежит глагольная форма «тангулить» или прозвище Тангуля.

Само слово «тангулить» в диалектах русского языка означает «говорить невнятно, бормотать» или «шататься без дела, слоняться». В некоторых говорах так называли человека, который делает что-то медленно, с ленцой. Соответственно, прозвище Тангуля получал либо неразговорчивый, себе на уме человек, либо тот, кого считали нерасторопным. Фамилия образована по стандартной схеме: от прозвища на «-я» (Тангуля) притяжательный суффикс «-ин» (чей? — Тангулин), а затем женская форма Тангулина.

Географически фамилия тяготеет к центральным и северным областям России — именно там фиксируются глаголы с корнем «танг-» в значении «медлить» или «мямлить». В южных говорах и украинском языке этот корень не встречается, что делает фамилию маркером северного или владимирского происхождения.

Сравните с однокоренными, но более редкими фамилиями Тангуров и Тангушев — они образованы по другим моделям, но корень тот же. Тангулина стоит особняком благодаря редкому суффиксу, который сразу выдаёт прозвищное происхождение, а не, скажем, топонимическое.

Таким образом, предки носительницы фамилии Тангулина с большой вероятностью жили в средней полосе России и получили прозвище за манеру поведения — медлительность или невнятную речь. Никакой связи с тюркскими или монгольскими корнями (несмотря на созвучие с «тангут») здесь нет: слово чисто русское диалектное.