Фамилия Тарнауз — редкая, и её происхождение лежит не в славянском, а в тюркском или румынском/молдавском языковом слое. В русских говорах она не имеет очевидного корня, поэтому искать объяснение стоит за пределами привычных суффиксальных моделей на -ов/-ин.

Наиболее вероятная версия — фамилия восходит к тюркскому прозвищу или имени. В тюркских языках, особенно в крымскотатарском и турецком, есть слово «tarnav» или «tarnauz», которое может означать «упрямый», «непослушный» или, в более широком смысле, «своенравный человек». Другая, менее распространённая, но правдоподобная гипотеза связывает Тарнауз с молдавским «târnăuț» — так называли жителя села Тырнауцы (современная Молдова или Черновицкая область Украины). В этом случае фамилия — топонимическая, указывающая на выходца из конкретного места.

Словообразовательный разбор показывает, что фамилия не имеет типичного русского суффикса. Она застыла в форме прозвища или этнохоронима. Окончание -уз характерно для тюркских заимствований (сравните: карауз, ялтауз). В русских документах фамилия могла фиксироваться без изменений, как есть, что указывает на её позднее вхождение в обиход — скорее всего, в XVIII–XIX веках, когда носители переселялись из южных регионов.

География бытования фамилии сегодня — это в основном юг России, Краснодарский край, Ростовская область, а также Украина и Молдова. Встречается она редко, что подтверждает её локальное происхождение. Сословно предки могли быть казаками или крестьянами из приграничных с Османской империей земель, где тюркские прозвища были обычным делом.

Споров вокруг этимологии почти нет — слишком мало материала. Но если выбирать, тюркская версия выглядит убедительнее: она объясняет и звучание, и отсутствие аналогов в русских говорах. Молдавский вариант возможен, но требует подтверждения конкретной переписью или метрикой.