Фамилия Татарьяшкина — женская форма от Татарьяшкин, и её разумнее всего разбирать, отталкиваясь от необычного суффиксального оформления. В русских фамилиях часто встречается основа «Татар-» (от прозвища Татарин или этнонима), но здесь она усложнена редким суффиксом -ьяшк-. Этот суффикс характерен для уменьшительно-ласкательных или пренебрежительных форм личных имён в говорах русского Севера и Поволжья: сравните «Ванька» — «Ваняшка», «Петька» — «Петяшка». Соответственно, Татарьяшка — это не просто «татарин», а скорее «татарчонок», «маленький татарин» или человек, которого в детстве дразнили за смуглость или восточные черты лица.

Вероятнее всего, основа фамилии — прозвище Татарьяшка, которое давали не по национальности, а по внешнему сходству или по месту жительства рядом с татарами. В XVI–XVII веках, когда на Руси активно формировались фамилии, многие крестьяне и посадские люди получали такие «этнические» прозвища, даже если сами были русскими. Суффикс -ьяшк- указывает на то, что прозвище было скорее бытовым, внутрисемейным, а не официальным.

Фамилия Татарьяшкин (и её женская форма) — редкая. Она не встречается в массовых списках дворянских родов, что говорит о её крестьянском или мещанском происхождении. Географически такие фамилии с суффиксом -ьяшк- тяготеют к северным и центральным губерниям России — Вологодской, Архангельской, Костромской. В современной России носители фамилии встречаются единично, что делает её ценной для генеалогии: каждый случай, скорее всего, восходит к одной конкретной семье.

Интересная деталь: написание через «ья» (а не «ия» или «я») — архаичное, оно сохраняет старую орфографию и произношение. В документах XIX века такую фамилию могли писать как Татарьяшкинъ, что подчёркивает мягкость согласного. Если вы ищете свои корни, стоит обратить внимание на переписные книги и ревизские сказки по северным уездам — именно там мог жить тот самый Татарьяшка, от которого пошла фамилия.