Фамилия Тавшунский — редкая, географически привязанная и почти наверняка польская или западнорусская по происхождению. Её основа и модель образования указывают на то, что предок носителя фамилии был связан с конкретным местом — селением с названием вроде Тавшуны или Тавшунь.

Суффикс -ский (в польском варианте -ski) — один из главных маркеров шляхетских (дворянских) фамилий в Польше, Литве и на западе современной Беларуси и Украины. Такие фамилии образовывались от названий родовых имений, местечек или усадеб. Если ваш предок носил фамилию Тавшунский, скорее всего, он владел землёй или жил в населённом пункте, который в документах XVI–XVIII веков фиксировался как Тавшуны. Само название поселения, скорее всего, происходит от личного имени или прозвища Тавшун — вариант древнего балтского или славянского имени Тавш (ср. с литовскими основами «tautas» — народ, «taur» — тур). В этом случае фамилия означает «принадлежащий Тавшуну» или «выходец из Тавшун».

В русском языке фамилии на -ский традиционно считались более «благородными», чем крестьянские на -ов/-ев, и часто указывали на принадлежность к духовенству или дворянству. Однако в случае с Тавшунским важно учитывать географию: на землях бывшего Великого княжества Литовского фамилии на -ский могли носить и простые однодворцы, и мелкая шляхта. Если фамилия встречается в современных российских архивах, например в Сибири или на Урале, это может говорить о переселении польских или литовских дворян после разделов Речи Посполитой.

Единой версии происхождения корня «тавшун» нет. Возможна связь с тюркскими языками (сравните «тавшан» — заяц по-тюркски), но в сочетании с типично славянским суффиксом -ский это маловероятно: тюркские прозвища обычно давали основы для фамилий на -ов (Тавшанов). Поэтому самая надёжная версия — балто-славянская, с привязкой к конкретному топониму в Литве или Беларуси. Поищите в старых картах Виленской, Гродненской или Минской губерний: если найдёте деревню Тавшуны, загадка решена.