Фамилия Тайбери — редкая для русского слуха, и её происхождение почти наверняка не славянское. Первое, что бросается в глаза, — окончание «-и», которое в русских фамилиях встречается редко и обычно указывает на нерусское происхождение. Скорее всего, перед нами фамилия, пришедшая из Западной Европы, и её разбор стоит начать с адаптации к русской письменности.

Наиболее вероятная версия — фамилия английского или шотландского происхождения, восходящая к топониму Тайбер (Tyber). В Шотландии существует несколько мест с таким названием, например, деревня Тайбер в области Перт-энд-Кинросс. В таком случае фамилия Тайбери означает «родом из Тайбера» или «житель Тайбера». Суффикс «-и» (в оригинале -y или -ie) в английских фамилиях часто указывает на место жительства или принадлежность, как в фамилиях Берри (Berry — «живущий у холма») или Холли (Holly — «живущий у падуба»).

Менее вероятная, но возможная версия связывает фамилию с итальянским топонимом Тибр (Tevere) — рекой, на которой стоит Рим. В английской огласовке «Тибр» звучит как Tiber, а форма Tevere могла дать вариант Teveri. Однако для русского уха фамилия Тайбери звучит именно по-английски, а не по-итальянски, из-за характерного сочетания «ай».

Если отбросить топонимику, можно предположить, что основа «тайб-» восходит к древнеанглийскому слову, связанному с понятием «время» или «период» (ср. tide — время), но это уже область гипотез без твёрдой опоры в ономастике.

В России фамилия Тайбери — большая редкость. Она могла появиться в результате иммиграции: например, потомки британских специалистов, приглашённых в XVIII-XIX веках на русскую службу (инженеры, моряки, врачи), или обрусевшие шотландцы. Из-за нетипичного окончания «-и» фамилия не склоняется по падежам в мужском и женском роде, что также выдаёт её иноязычное происхождение. В дореволюционных метрических книгах её могли записывать на слух, поэтому возможны варианты Тайбери, Тэйбери или даже Тайберри.