Фамилия Тайрухина — редкая и, скорее всего, севернорусская, на что указывает суффикс -ин. В русской ономастике фамилии на -ин обычно образуются от основ, оканчивающихся на -а/-я. Но здесь основа «Тайрух» неочевидна. Вероятнее всего, это вариант фамилии Тайрухин, где -а — женское окончание (жена или дочь Тайрухина). Мужская форма — Тайрухин.

Корень «Тайрух» не имеет прямых аналогов в литературном русском языке. Скорее всего, это прозвище из местных говоров. Можно предположить связь с диалектным словом «тайрук» или «таруй» — в архангельских и вологодских говорах так могли называть медлительного, нерасторопного человека или, наоборот, скрытного, «тайного». Другая версия — искажённое тюркское имя или прозвище, например, от «тай» (жеребёнок) и «рук» (рука, сила) — «сильный как жеребёнок». Но для Русского Севера это маловероятно: фамилия не имеет характерных тюркских суффиксов (например, -ов).

Географически фамилия Тайрухина встречается в единичных записях в Вологодской и Архангельской областях. Это подтверждает версию о северном происхождении. Предки носителя фамилии, скорее всего, были крестьянами или посадскими людьми, получившими прозвище по какой-то яркой черте характера или поведения. Сословный статус — почти наверняка не дворяне: фамилия не фиксируется в родословных книгах.

Особенность написания — редкое сочетание «Тай» в начале. В русских фамилиях чаще встречается «Тай-» в заимствованиях (Тайманов), но здесь оно выглядит как исконное диалектное. Сравните с фамилиями Таиров (от имени Таир) или Тайшин — у Тайрухина иная, более грубая звуковая фактура. Если у вас есть семейное предание о том, что предок «тайно рубил» (лес) или «тайно рукавицы шил» — это народная этимология, но она не имеет лингвистических подтверждений. Правдоподобнее всего — прозвище от местного слова со значением «тихоня» или «скрытный».