Фамилия Тэгшсайхан — редкий случай в русском ономастиконе, который почти наверняка имеет не славянское, а монгольское происхождение. В исконно русских фамилиях такое сочетание звуков и букв не встречается. Скорее всего, перед нами не фамилия в привычном для нас понимании (образованная от имени или прозвища с помощью суффикса), а личное имя или часть полного имени, которое закрепилось как родовое в результате адаптации к русской системе документооборота.

Разбираем основу. «Тэгш» в монгольских языках означает «ровный», «гладкий», «прямой» или «справедливый». «Сайхан» переводится как «красивый», «хороший», «прекрасный». Вместе «Тэгшсайхан» можно истолковать как «ровная (справедливая) красота» или «прекрасная справедливость». Это типичная для монгольской антропонимии составная конструкция, где два корня соединяются в одно слово с пожелательным или характеризующим смыслом. Такие имена давали, чтобы подчеркнуть достоинство, гармонию или нравственное качество человека.

Особенность фамилии в том, что она не подверглась типичной для русского языка суффиксации. В ней нет окончаний -ов, -ев, -ин, которые превратили бы имя в фамилию (как, например, из монгольского имени Батор получилась бы фамилия Баторов). Тэгшсайхан осталась в неизменной форме — это признак относительно позднего вхождения в русскую паспортную систему, когда фамилию записали так, как её произнёс носитель, без переделки на славянский лад.

Географически носители такой фамилии, скорее всего, имеют корни из Бурятии, Калмыкии или Монголии. Встретить Тэгшсайхан в центральных областях России почти невозможно — это локальная фамилия, привязанная к регионам, где распространены монгольские языки и традиция многосоставных имён. Интересно, что в русском языке она может писаться с вариациями: через «е» или «э» (Тэгшсайхан/Тегшсайхан), но исходный звук ближе к твёрдому «э».

По сути, предки человека с такой фамилией, вероятно, носили её как личное имя, и лишь в XX веке, при получении паспортов, оно перешло в разряд фамилий, закрепившись за целым родом. Это не прозвище по ремеслу или месту жительства, а прямое именование, в котором заложено пожелание или описание — «ровная красота» или «справедливый и прекрасный».