Фамилия Терапупойкина — редкий случай, когда в основе лежит не прозвище, не ремесло и не имя, а целая фраза. Её разбирают на слух: «терапупойкина» — это искажённое «терапия пойкилодермии», то есть лечение кожного заболевания с изменением окраски. Вероятнее всего, фамилию получил в семинарии сын священника или причётника, который лечил прихожан от кожных болезней, или же сам страдал таким недугом. В духовном сословии в XVIII–XIX веках было принято давать «говорящие» фамилии из латинских и греческих корней, часто с юмором или по обстоятельствам.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Терапупойкина — «дочь (или жена) Терапупойкина». Мужская форма, Терапупойкин, образовалась бы так же. В отличие от крестьянских фамилий на -ов/-ев, которые чаще шли от имени отца, семинарские фамилии на -ин могли возникать прямо от прозвища, без промежуточного отчества. Здесь основа — греческое θεραπεία (терапия, лечение) и ποικιλόδερμος (пёстрый, пятнистый).

Географически такие фамилии встречались по всей Российской империи, но чаще в европейской части, где были духовные училища. В метрических книгах XIX века Терапупойкины могли записываться в сёлах при церквях, где служил родоначальник. Других версий происхождения, кроме семинарской, практически нет: слишком специфична основа.

Если ваши предки носили эту фамилию, они почти наверняка были из духовного звания — священники, дьяконы или их дети. В советское время фамилия могла потерять связь с медициной и стать просто редким родовым именем. Похожие по модели — Пойкилидис, Терапевтов, Дерматозов — все из той же среды.