Фамилия Тирингогачук — редкий случай, когда в основе лежит не имя и не профессия, а целая фраза или прозвище, записанное на слух. Если разобрать её по частям, то перед нами конструкция «тиринго га чук». В украинских и южнорусских говорах «тиринг» или «тиринькать» означало играть на дудке, свирели или просто издавать тягучие, жалобные звуки. Частица «га» — это диалектное «да» или «же», усиливающее значение. А «чук» — прозвище, которое на западе Украины и в Карпатах давали человеку с необычной походкой, хромоте или тому, кто «чукал» — стучал, цокал при ходьбе. Получается, что Тирингогачук — это человек, который «играет на дудке и прихрамывает», или, точнее, «свистит да ещё и хромает». Такое прозвище могли дать сельскому музыканту, который играл на свадьбах и при этом хромал, или же просто насмешливое уличное имя для того, кто одновременно и плохо играл, и неловко двигался.

Словообразовательная модель здесь — чисто украинская, с суффиксом -ук, который указывает на принадлежность к роду: Тирингогачук — это сын или потомок Тирингогача. Окончание -чук, а не -ченко или -евич, сразу выдаёт регион происхождения — западная Украина, вероятнее всего Волынь, Подолье или Галичина. В этих местах такие составные прозвища из двух-трёх слов были в ходу: человека могли окрестить целой фразой за какую-то смешную или заметную особенность, а потом эта фраза прирастала к фамилии.

Встретить фамилию Тирингогачук можно крайне редко. Она не фиксируется в массовых базах данных и не упоминается в классических ономастических словарях (Унбегаун, Никонов, Веселовский). Это говорит о том, что фамилия либо вымерла, либо сохранилась в одной-двух семьях, либо сильно видоизменилась при письменной записи. В XIX веке, при переписях, писарь мог записать её на слух иначе: Теренгогачук, Тиринкогачук или даже сократить до Тиринчук. Если вы носите эту фамилию, есть смысл искать корни в сёлах Львовской или Тернопольской области, где диалекты сохранили слово «тиринькати» и прозвища на «-чук».

Сравнение с однокоренными фамилиями — Тирин, Тиринчук, Гога, Гогачук — показывает, что основа «тиринг» почти нигде не встречается отдельно. Это делает Тирингогачук уникальным случаем: фамилия-скороговорка, которая вобрала в себя целую историю — и музыкальную, и хромую, и насмешливую. Никакой другой фамилии с таким же корнем в русской и украинской ономастике нет.